माना k in N का न्यूनतम मान p है, जिसके लिए (1 | vedclass

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Question

(D) $(1+x)^r$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक $\binom{r}{3}$ होता है।$r=3$ से $99$ तक योग करने पर, $\sum_{r=3}^{99} \binom{r}{3} = \binom{100}{4}$ प्रा

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$13$

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(D) $(1+x)^r$ के विस्तार में $x^3$ का गुणांक $\binom{r}{3}$ होता है।$r=3$ से $99$ तक योग करने पर, $\sum_{r=3}^{99} \binom{r}{3} = \binom{100}{4}$ प्राप्त होता है।$(1+kx)^{100}$ में $x^3$ का गुणांक $k^3 \binom{100}{3}$ है।कुल गुणांक = $\binom{100}{4} + k^3 \binom{100}{3}$ है।चूंकि $\binom{100}{4} = \frac{97}{4} \binom{100}{3} = 24.25 \binom{100}{3}$ है,अतः कुल गुणांक = $(24.25 + k^3) \binom{100}{3}$ होगा।इसे $(43n + 25.25) \binom{100}{3}$ के बराबर रखने पर, $24.25 + k^3 = 43n + 25.25$ प्राप्त होता है, जो $k^3 = 43n$ में सरल हो जाता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार $k=12$ और $n=1$ लेने पर $p+n = 13$ प्राप्त होता है।

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