जब बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{22}$ को $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{11}$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

यदि $(1 + x - 3x^2)^{2145} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$ है,तो $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$ का अंतिम अंक क्या होगा?

यदि $1 + (2 + {}^{49}C_{1} + {}^{49}C_{2} + \dots + {}^{49}C_{49})({}^{50}C_{2} + {}^{50}C_{4} + \dots + {}^{50}C_{50})$ का मान $2^{n} \cdot m$ के बराबर है,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

$[(1 + x)^{100} + (1 + x^2)^{100} + (1 + x^3)^{100}]$ के विस्तार में कुल पदों की संख्या है -

$(1+x)^{1000}+x(1+x)^{999}+x^{2}(1+x)^{998}+.......+x^{1000}$ में $x^{499}$ और $x^{500}$ के गुणांकों का योग क्या है?

मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।