જો C_r = { }^n C_r હોય,તો C_0 + C_4 + C_8 + C | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો. એકમના ચતુર્થ મૂળ $\omega = i$ લો. મૂળ $1, i,

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2^{\frac{n}{2}} \left[ \cos \frac{n \pi}{4} + 2^{\frac{n}{2}-1} \right]}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ વિસ્તરણ ધ્યાનમાં લો. એકમના ચતુર્થ મૂળ $\omega = i$ લો. મૂળ $1, i, -1, -i$ છે. એકમના મૂળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=0}^3 (1 + \omega^k x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$. જો $r$ એ $4$ નો ગુણક હોય તો આંતરિક સરવાળો $\sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k = 4$ થાય,અન્યથા $0$ થાય. તેથી,$4S = (1+1)^n + (1+i)^n + (1-1)^n + (1-i)^n = 2^n + (1+i)^n + 0^n + (1-i)^n$. $(1+i) = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ અને $(1-i) = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$ હોવાથી,$(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{n/2} (e^{i n \pi/4} + e^{-i n \pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$. તેથી,$4S = 2^n + 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$. $S = \frac{2^n}{4} + \frac{2^{n/2+1}}{4} \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n-2} + 2^{n/2-1} \cos \frac{n \pi}{4}$. આને $\frac{2^{n/2} [\cos \frac{n \pi}{4} + 2^{n/2-1}]}{2}$ તરીકે લખી શકાય.

જો $C_r = { }^n C_r$ હોય,તો $C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ નો સરવાળો શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $\frac{1}{1 \times 2} {}^{25}C_{0} + \frac{1}{2 \times 3} {}^{25}C_{1} + \frac{1}{3 \times 4} {}^{25}C_{2} + \ldots + \frac{1}{26 \times 27} {}^{25}C_{25}$ નો સરવાળો છે

બાઈનરી સિક્વન્સ એ $0$ અને $1$ ની શ્રેણી છે. $n$-અંકની બાઈનરી સિક્વન્સ કે જેમાં $0$ ની સંખ્યા બેકી હોય તેની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $\sum_{r=0}^{2023} r \cdot ^{2023}C_r = 2023 \times \alpha \times 2^{2022}$ છે. તો $\alpha$ ની કિંમત $............$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module