यदि $C_r = { }^n C_r$ है,तो $C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ का योग ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{{}^{11}C_1}{2} + \frac{{}^{11}C_2}{3} + \dots + \frac{{}^{11}C_9}{10} = \frac{n}{m}$ जहाँ $\gcd(n, m) = 1$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\binom{n}{k}$ का अर्थ ${}^{n}C_{k}$ है और $\left[\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right]=\begin{cases} \binom{n}{k}, & \text{यदि } 0 \leq k \leq n \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ है। यदि $A_{k}=\sum_{i=0}^{9}\binom{9}{i}\left[\begin{array}{c} 12 \\ 12-k+i \end{array}\right]+\sum_{i=0}^{8}\binom{8}{i}\left[\begin{array}{c} 13 \\ 13-k+i \end{array}\right]$ और $A_{4}-A_{3}=190p$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\sum\limits_{K = 1}^{12} {12K \cdot {^{12}C_K} \cdot {^{11}C_{K - 1}}} $ का मान $\frac{{12 \times 21 \times 19 \times 17 \times \dots \times 3}}{{11!}} \times {2^{12}} \times p$ के बराबर है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1 + x)^n = \sum\limits_{r = 0}^n {{C_r}{x^r}} $ है,तो $\left( {1 + \frac{{{C_1}}}{{{C_0}}}} \right)\left( {1 + \frac{{{C_2}}}{{{C_1}}}} \right)....\left( {1 + \frac{{{C_n}}}{{{C_{n - 1}}}}} \right) = $

$^{10}C_1 + ^{10}C_3 + ^{10}C_5 + ^{10}C_7 + ^{10}C_9 = $