यदि f:[-2,2] rightarrow R को f(x) = begin{cas | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f:[-2,2] \rightarrow R$ अंतराल $[-2,2]$ पर सतत है,इसलिए इसे $x=0$ पर भी सतत होना चाहिए। $x=0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \rightarr

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(B) दिया गया है कि $f:[-2,2] \rightarrow R$ अंतराल $[-2,2]$ पर सतत है,इसलिए इसे $x=0$ पर भी सतत होना चाहिए। $x=0$ पर सांतत्य के लिए,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए। सबसे पहले,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ की गणना करें: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1+cx}-\sqrt{1-cx}}{x}$. संयुग्मी $\frac{\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx}}{\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx}}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1+cx)-(1-cx)}{x(\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2cx}{x(\sqrt{1+cx}+\sqrt{1-cx})} = \frac{2c}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{2c}{2} = c$. अब,दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ की गणना करें: $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x+3}{x+1} = \frac{0+3}{0+1} = 3$. चूंकि $f$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $LHL = RHL$. अतः,$c = 3$.

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