यदि $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x + [x])$,$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (2x - [x])$ और $l_3 = \lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos x}{x - \pi / 2}$ है,तो:

$\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^n 2 k\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक मीटर ब्रिज प्रयोग में,बाएं गैप के प्रतिरोध और दाएं गैप के प्रतिरोध का अनुपात $2:3$ है। बाएं सिरे से संतुलन बिंदु की दूरी क्या है ($~cm$ में)?

एक क्रिस्टल के लिए,विवर्तन कोण $(2 \theta) = 90^{\circ}$ है और द्वितीय कोटि की रेखा का $d$ मान $2.28 \ \mathring{A}$ है। ब्रैग विवर्तन के लिए उपयोग की जाने वाली $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य ($\mathring{A}$ में) है

$1.2$ के प्रदर्शन गुणांक (coefficient of performance) वाला एक घरेलू रेफ्रिजरेटर $60 \ kJ/min$ की दर से रेफ्रिजेरेटेड स्थान से ऊष्मा हटाता है। इस फ्रिज को एक महीने ($30$ दिन) तक चलाने की लागत क्या होगी? (मान लें कि इसका उपयोग प्रतिदिन $4$ घंटे किया जाता है और एक विद्युत इकाई की लागत $6 \ Rs$ है।)

$T_1, T_2$ और $T_3$ परम तापमान पर तीन आदर्श गैसों को मिलाया जाता है। अणुओं के द्रव्यमान $m_1, m_2$ और $m_3$ हैं और अणुओं की संख्या क्रमशः $n_1, n_2$ और $n_3$ है। यह मानते हुए कि ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता है,मिश्रण का अंतिम तापमान क्या होगा?