cot left(sum_{n=1}^{23} cot ^{-1}left(1+sum_{ | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.अतः,योग के अंदर का पद $\cot^{-1}(1 + n(n+1))$ हो जाता है।सर्वसमिका $\cot^{-

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$\frac{25}{23}$

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(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 	imes \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.अतः,योग के अंदर का पद $\cot^{-1}(1 + n(n+1))$ हो जाता है।सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = 	an^{-1}(\frac{1}{x})$ ($x > 0$ के लिए) का उपयोग करते हुए,हमें $	an^{-1}(\frac{1}{1 + n(n+1)})$ प्राप्त होता है।हम $\frac{1}{1 + n(n+1)} = \frac{(n+1) - n}{1 + n(n+1)}$ लिख सकते हैं।सूत्र $	an^{-1}(x) - 	an^{-1}(y) = 	an^{-1}(\frac{x-y}{1+xy})$ का उपयोग करते हुए,हमें $	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n)$ प्राप्त होता है।अब,योग $\sum_{n=1}^{23} (	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n))$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(1)) + (	an^{-1}(3) - 	an^{-1}(2)) + \dots + (	an^{-1}(24) - 	an^{-1}(23))$.यह सरल होकर $	an^{-1}(24) - 	an^{-1}(1)$ हो जाता है।सूत्र का पुनः उपयोग करते हुए: $	an^{-1}(\frac{24-1}{1+24	imes 1}) = 	an^{-1}(\frac{23}{25})$.अंत में,हमें $\cot(	an^{-1}(\frac{23}{25})) = \cot(\cot^{-1}(\frac{25}{23})) = \frac{25}{23}$ प्राप्त होता है।

$\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^n 2 k\right)\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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