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Question

(D) माना $y = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2} \right) \right]^{\frac{1}{n}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघु

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$\frac{\pi}{2}$

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(D) माना $y = \lim _{n ightarrow \infty} \left[ \prod_{r=1}^n \left(1 + \frac{r^2}{n^2} ight) ight]^{\frac{1}{n}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log y = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1 + \left(\frac{r}{n}ight)^2 ight)$.यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$\log y = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x^2)$ और $dv = dx$ लें:$\log y = [x \log(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} dx$.$\log y = \log 2 - 2 \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2} ight) dx$.$\log y = \log 2 - 2 [x - 	an^{-1} x]_0^1$.$\log y = \log 2 - 2 (1 - \frac{\pi}{4}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$.अतः,$y = e^{\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}} = 2 e^{\frac{\pi}{2} - 2}$.$ae^b$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 2$ और $b = \frac{\pi}{2} - 2$ प्राप्त होता है।इसलिए,$a + b = 2 + \frac{\pi}{2} - 2 = \frac{\pi}{2}$.

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=ae^{b}$ है,तो $a+b=$

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निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \left\{ 4 + \left( 2 + \frac{1}{n} \right)^2 + \left( 2 + \frac{2}{n} \right)^2 + \dots + \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^2 \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^{1 / n}}+\frac{1}{e^{2 / n}}+\frac{1}{e^{3 / n}}+\ldots+\frac{1}{e^{2n/n}}\right)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n-1}}{n \sqrt{n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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