$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $b > a$,तो $\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{na} + \frac{1}{na + 1} + \frac{1}{na + 2} + \dots + \frac{1}{nb} \right] = $

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=ae^{b}$ है,तो $a+b=$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]$ का मान ...... है।

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$