यदि P और Q ऐसे वर्ग आव्यूह हैं कि P^{2006} = | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $P^{2006} = O$ और $PQ = P + Q$.समीकरण $PQ = P + Q$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PQ - P - Q = O$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों में

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(A) दिया गया है कि $P^{2006} = O$ और $PQ = P + Q$.समीकरण $PQ = P + Q$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PQ - P - Q = O$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों में $I$ जोड़ने पर,$(P - I)(Q - I) = I$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है कि $(P - I)$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।चूंकि $P^{2006} = O$,$P$ एक शून्यंभावी (nilpotent) आव्यूह है,इसलिए इसके सभी आइगेन मान $0$ हैं।अतः,$\det(P) = 0$ है।समीकरण $PQ = P + Q$ से,हम $Q(P - I) = P$ या $Q = P(P - I)^{-1}$ लिख सकते हैं।इसलिए,$\det(Q) = \det(P) \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0 \cdot \det((P - I)^{-1}) = 0$।

यदि $P$ और $Q$ ऐसे वर्ग आव्यूह हैं कि $P^{2006} = O$ और $PQ = P + Q$,तो $\det(Q)$ का मान क्या होगा?

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