यदि x, y, z सभी धनात्मक हैं और क्रमशः एक गुणो | vedclass

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Question

(A) माना $a$ प्रथम पद है और $R$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ का सार्व अनुपात है।तब,$n$-वां पद $T_n = a R^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है कि $x, y, z$

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(A) माना $a$ प्रथम पद है और $R$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ का सार्व अनुपात है।तब,$n$-वां पद $T_n = a R^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है कि $x, y, z$ क्रमशः $p$-वें,$q$-वें और $r$-वें पद हैं:$x = a R^{p-1}$,$y = a R^{q-1}$,$z = a R^{r-1}$.दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:$\log x = \log a + (p-1) \log R$$\log y = \log a + (q-1) \log R$$\log z = \log a + (r-1) \log R$अब,इन मानों को सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log x & p & 1 \ \log y & q & 1 \ \log z & r & 1 \end{array}ight|$ में प्रतिस्थापित करने पर.$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a + (p-1) \log R & p & 1 \ \log a + (q-1) \log R & q & 1 \ \log a + (r-1) \log R & r & 1 \end{array}ight|$.सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a & p & 1 \ \log a & q & 1 \ \log a & r & 1 \end{array}ight| + \left|\begin{array}{lll} (p-1) \log R & p & 1 \ (q-1) \log R & q & 1 \ (r-1) \log R & r & 1 \end{array}ight|$.पहले सारणिक में,पहला स्तंभ तीसरे स्तंभ का $\log a$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।दूसरे सारणिक में,चूंकि $C_1 = (C_2 - C_3) \log R$,पहला स्तंभ $(C_2 - C_3)$ का गुणज है,इसलिए इसका मान भी $0$ है।अतः,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

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