यदि sin ^{-1}left(x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{4} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \infty\right) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \inft

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(B) दिया गया समीकरण $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \inftyight) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \inftyight)=\frac{\pi}{2}$ है।दोनों श्रेणियाँ अनंत गुणोत्तर श्रेणियाँ हैं जिनका सार्व अनुपात क्रमशः $-x/2$ और $-x^2/2$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।पहली श्रेणी के लिए,$a=x$ और $r=-x/2$,इसलिए योग $\frac{x}{1-(-x/2)} = \frac{2x}{2+x}$ है।इसी प्रकार,दूसरी श्रेणी $x^2 - x^4/2 + x^6/4 - \dots$ के लिए,$a=x^2$ और $r=-x^2/2$ है। इसलिए योग $\frac{x^2}{1-(-x^2/2)} = \frac{2x^2}{2+x^2}$ है।गुणधर्म $\sin ^{-1}(u) + \cos ^{-1}(v) = \pi/2$ का उपयोग करते हुए,$u=v$ होना चाहिए।अतः,$\frac{2x}{2+x} = \frac{2x^2}{2+x^2}$।चूंकि $x 
eq 0$,$2x$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2+x} = \frac{x}{2+x^2}$।$2+x^2 = x(2+x) \implies 2+x^2 = 2x+x^2$।$2x = 2 \implies x=1$।

यदि $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}-\ldots \infty\right) + \cos ^{-1}\left(x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{4}-\ldots \infty\right)=\frac{\pi}{2}$ और $0 < x < \sqrt{2}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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