यदि $a \neq \{-1, 1\}$ के लिए $f(a) = \log \left| \frac{1-a}{1+a} \right|$ है,तो $a$ के उन सभी मानों का समुच्चय,जिनके लिए $f\left( \frac{2a}{1+a^2} \right) > 0$ है,होगा

मान लीजिए $P(x)$ वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद है,जैसे कि सभी $x \in [0, \pi/2)$ के लिए $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ है। निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I.$ $P(x)$ एक सम फलन (even function) है।
$II.$ $P(x)$ को $(2x - 1)^2$ में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$III.$ $P(x)$ एक सम घात (even degree) का बहुपद है।
तो,

समुच्चय $\{x, y\}$ से $\{x, y\}$ तक एक संबंध $R$ के सममित (symmetric) और संक्रामक (transitive) होने की प्रायिकता क्या है?

निम्नलिखित में से कौन सा फलन $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi} \tan^{-1}(nx)$ के ग्राफ का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है?

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \text{ सम है} \\ 2x, & x \text{ विषम है} \end{cases}$। यदि किसी $a \in N$ के लिए,$f(f(f(a))) = 21$ है,तो $\lim_{x \rightarrow a^{-}} \left\{ \frac{|x|^3}{a} - \left[ \frac{x}{a} \right] \right\}$,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है,का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $f: R \rightarrow R$ और $g: R \rightarrow R$ प्रत्येक $x \in R$ के लिए $f(x)=|x|$ और $g(x)=[x]$ द्वारा दिए गए हैं, तो $\{x \in R: g(f(x)) \leq f(g(x))\}$ किसके बराबर है?