જો $f$ એ $f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \leq x < 1 \\ 2-x & \text{for } x \geq 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $x=1$ આગળ,$f(x)$ એ

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
$f'(x)$ ચિહ્ન ચાર્ટ:
- $x < -5$ માટે,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ માટે,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ માટે,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે:

ધારો કે $y = f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{જો } x \neq 0 \\ 0, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$. તો નીચેનામાંથી કયો આલેખ $y = f(x)$ ને શ્રેષ્ઠ રીતે રજૂ કરે છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(0)=0$,$f(\frac{\pi}{2})=3$ અને $f^{\prime}(0)=1$. જો $g(x)=\int_x^{\pi / 2} [f^{\prime}(t) \operatorname{cosec} t - f(t) \operatorname{cosec} t \cot t] dt$ એ $x \in (0, \frac{\pi}{2}]$ માટે હોય,તો $\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=$

ધારો કે $f$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(2) = 1$ અને $f'(2) = 4$ થાય. જો $\lim_{x \rightarrow 0} (f(2+x))^{3/x} = e^\alpha$ હોય,તો વક્ર $y = 4x^3 - 4x^2 - 4(\alpha - 7)x - \alpha$ એ $x$-અક્ષને કેટલી વાર છેદે છે?

વિધેય $f(x) = \begin{cases} \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} x, & |x| \leq 1 \\ \frac{1}{2}(|x|-1), & |x| > 1 \end{cases}$ માટે: