यदि y=(log x)^{1/x} + x^{log x} है,तो x=e पर | vedclass

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Question

(C) माना $y = u + v$,जहाँ $u = (\log x)^{1/x}$ और $v = x^{\log x}$ है।$u$ के लिए दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \frac{1}{x} \log(\log x)$.$x$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{e^2} + 2$

Vedclass · Answer

(C) माना $y = u + v$,जहाँ $u = (\log x)^{1/x}$ और $v = x^{\log x}$ है।$u$ के लिए दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \frac{1}{x} \log(\log x)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} + \log(\log x) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2 \log x} - \frac{\log(\log x)}{x^2}$.$x=e$ पर,$\log u = \frac{1}{e} \log(\log e) = \frac{1}{e} \log(1) = 0$,इसलिए $u = e^0 = 1$.अतः,$\frac{du}{dx} = u \left[ \frac{1}{e^2 \log e} - \frac{\log(\log e)}{e^2} \right] = 1 \left[ \frac{1}{e^2} - 0 \right] = \frac{1}{e^2}$.$v = x^{\log x}$ के लिए,लॉग लेने पर: $\log v = \log x \cdot \log x = (\log x)^2$.अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$.$x=e$ पर,$\log v = (\log e)^2 = 1$,इसलिए $v = e^1 = e$.अतः,$\frac{dv}{dx} = v \left[ \frac{2 \log e}{e} \right] = e \left[ \frac{2}{e} \right] = 2$.इसलिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = \frac{1}{e^2} + 2$.

यदि $y=(\log x)^{1/x} + x^{\log x}$ है,तो $x=e$ पर $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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