यदि 0

Question

(A) $(0,0)$,$(x_1, y_1)$,और $(x_2, y_2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,शीर्ष $(0,0)

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$\frac{3 \sqrt{3}}{32}$

Vedclass · Answer

(A) $(0,0)$,$(x_1, y_1)$,और $(x_2, y_2)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ,शीर्ष $(0,0)$,$(x, \cos x)$,और $(\sin^3 x, 0)$ हैं।अतः,$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $A(x) = \frac{1}{2} |x(0) - (\sin^3 x)(\cos x)| = \frac{1}{2} \sin^3 x \cos x$ है।अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:$A'(x) = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x (-\sin x)] = \frac{1}{2} [3 \sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x]$.$A'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3 \sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x$ प्राप्त होता है।चूंकि $\sin x 
eq 0$,इसलिए $3 \cos^2 x = \sin^2 x$,जिसका अर्थ है $	an^2 x = 3$,अतः $	an x = \sqrt{3}$ (क्योंकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$)।इस प्रकार,$x = \frac{\pi}{3}$ है।$x = \frac{\pi}{3}$ पर,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos x = \frac{1}{2}$ है।इन मानों को $A(x)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$A = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{3 \sqrt{3}}{8}) (\frac{1}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{32}$.

यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,तो $(0,0)$,$(x, \cos x)$ और $(\sin^3 x, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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