दिए गए तिर्यक ऊँचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु क | vedclass

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Question

(B) माना $l$ तिर्यक ऊँचाई है और $\alpha$ लंबवृत्तीय शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है। माना $h$ ऊँचाई है और $r$ आधार की त्रिज्या है।तब $h = l \cos \alpha$ और

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$	an^{-1}(\sqrt{2})$

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(B) माना $l$ तिर्यक ऊँचाई है और $\alpha$ लंबवृत्तीय शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है। माना $h$ ऊँचाई है और $r$ आधार की त्रिज्या है।तब $h = l \cos \alpha$ और $r = l \sin \alpha$ है।शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ होता है।$r$ और $h$ के मान रखने पर,$V = \frac{1}{3} \pi (l \sin \alpha)^2 (l \cos \alpha) = \frac{1}{3} \pi l^3 \sin^2 \alpha \cos \alpha$ प्राप्त होता है।अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,$V$ का $\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3} \pi l^3 [\sin^2 \alpha (-\sin \alpha) + \cos \alpha (2 \sin \alpha \cos \alpha)]$$\frac{dV}{d\alpha} = \frac{1}{3} \pi l^3 [-\sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha \cos^2 \alpha]$।क्रांतिक बिंदुओं के लिए $\frac{dV}{d\alpha} = 0$ रखने पर:$-\sin^3 \alpha + 2 \sin \alpha (1 - \sin^2 \alpha) = 0$$\sin \alpha (2 - 3 \sin^2 \alpha) = 0$।चूँकि $\alpha 
eq 0$,इसलिए $2 - 3 \sin^2 \alpha = 0$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \alpha = \frac{2}{3}$।$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ का उपयोग करने पर,हमें $	an^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{2/3}{1/3} = 2$ प्राप्त होता है।अतः,$	an \alpha = \sqrt{2}$,या $\alpha = 	an^{-1}(\sqrt{2})$।द्वितीय अवकलज परीक्षण $\frac{d^2V}{d\alpha^2}$ से यह पुष्टि होती है कि इस मान पर आयतन अधिकतम है।

दिए गए तिर्यक ऊँचाई वाले एक लंबवृत्तीय शंकु का आयतन अधिकतम होने पर,शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण ज्ञात कीजिए।

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