यदि int frac{x^2-x+2}{x^2+x+2} d x=x-log (f(x | vedclass

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Question

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x^2-x+2}{x^2+x+2} dx$ है। सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $x^2-x+2 = (x^2+x+2) - 2x$. अतः,$I = \int \left( 1 - \fr

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(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x^2-x+2}{x^2+x+2} dx$ है। सबसे पहले,अंश को फिर से लिखें: $x^2-x+2 = (x^2+x+2) - 2x$. अतः,$I = \int \left( 1 - \frac{2x}{x^2+x+2} \right) dx = x - \int \frac{2x}{x^2+x+2} dx$. $\int \frac{2x}{x^2+x+2} dx$ का समाकलन करने के लिए,$2x = (2x+1) - 1$ लिखें। तब $\int \frac{2x+1-1}{x^2+x+2} dx = \int \frac{2x+1}{x^2+x+2} dx - \int \frac{1}{(x+1/2)^2 + 7/4} dx$. इससे $\log(x^2+x+2) - \frac{1}{\sqrt{7}/2} \operatorname{Tan}^{-1}(\frac{x+1/2}{\sqrt{7}/2}) = \log(x^2+x+2) - \frac{2}{\sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{7}})$ प्राप्त होता है। वापस प्रतिस्थापित करने पर,$I = x - \log(x^2+x+2) + \frac{2}{\sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1}(\frac{2x+1}{\sqrt{7}}) + c$. दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$f(x) = x^2+x+2$ और $g(x) = \frac{2x+1}{\sqrt{7}}$. तब $f(-1) = (-1)^2 - 1 + 2 = 2$ और $g(-1) = \frac{2(-1)+1}{\sqrt{7}} = -\frac{1}{\sqrt{7}}$. इस प्रकार,$f(-1) + \sqrt{7} g(-1) = 2 + \sqrt{7}(-\frac{1}{\sqrt{7}}) = 2 - 1 = 1$.

यदि $\int \frac{x^2-x+2}{x^2+x+2} d x=x-\log (f(x))+\frac{2}{\sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1}(g(x))+c$ है,तो $f(-1)+\sqrt{7} g(-1)=$

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मान लीजिए $I_n = \int \sec^n x \, dx$ है। यदि $5 I_6 - 4 I_4 = f(x)$ है, तो $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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