दिया गया है कि int frac{1}{x^2+a^2} dx = frac | vedclass

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Question

(A) हमारे पास $I = \int \frac{1}{x^4+3x^2+1} dx$ है। अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \int \frac{1/x^2}{x^2 + 1/x^2 +

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$3$

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(A) हमारे पास $I = \int \frac{1}{x^4+3x^2+1} dx$ है। अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \int \frac{1/x^2}{x^2 + 1/x^2 + 3} dx$. हम $1/x^2$ को $\frac{1}{2} \left[ (1 + 1/x^2) - (1 - 1/x^2) ight]$ के रूप में लिख सकते हैं। $I = \frac{1}{2} \int \frac{1 + 1/x^2}{(x - 1/x)^2 + 5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1 - 1/x^2}{(x + 1/x)^2 + 1} dx$. $u = x - 1/x$ $(du = (1 + 1/x^2) dx)$ और $v = x + 1/x$ $(dv = (1 - 1/x^2) dx)$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + (\sqrt{5})^2} - \frac{1}{2} \int \frac{dv}{v^2 + 1^2}$. $I = \frac{1}{2 \sqrt{5}} 	an^{-1}\left(\frac{x - 1/x}{\sqrt{5}}ight) - \frac{1}{2} 	an^{-1}\left(\frac{x + 1/x}{1}ight) + k$. $I = \frac{1}{2 \sqrt{5}} 	an^{-1}\left(\frac{x^2 - 1}{\sqrt{5}x}ight) - \frac{1}{2} 	an^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{x}ight) + k$. दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर, हमें $a = \frac{1}{2 \sqrt{5}}$, $b = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $c = -\frac{1}{2}$, और $d = 1$ प्राप्त होता है। अब, $5(c + d + ab) = 5\left(-\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}ight) = 5\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{10}ight) = 5\left(\frac{6}{10}ight) = 3$.

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