यदि int frac{1}{xleft[(log x)^2+4 log x-1righ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{1}{x[(\log x)^2 + 4 \log x - 1]} dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है। अतः समाकलन $I

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$A=\frac{1}{2 \sqrt{5}}, B=(2-\sqrt{5}), C=(2+\sqrt{5})$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{1}{x[(\log x)^2 + 4 \log x - 1]} dx$. $\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है। अतः समाकलन $I = \int \frac{1}{t^2 + 4t - 1} dt$ हो जाता है। हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $t^2 + 4t - 1 = (t+2)^2 - 5 = (t+2)^2 - (\sqrt{5})^2$. मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{u^2 - a^2} du = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{u-a}{u+a} \right| + K$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{(t+2) - \sqrt{5}}{(t+2) + \sqrt{5}} \right| + K$. $t = \log x$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \log \left| \frac{\log x + 2 - \sqrt{5}}{\log x + 2 + \sqrt{5}} \right| + K$. दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2\sqrt{5}}$,$B = 2 - \sqrt{5}$,और $C = 2 + \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{1}{x\left[(\log x)^2+4 \log x-1\right]} d x=A \log \left[\frac{\log x+B}{\log x+C}\right]+K$ जहाँ $K$ समाकलन का स्थिरांक है,तो

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