જો a0 હોય,તો int_{-pi}^pi frac{sin ^2 x}{1+a | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$ ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ ને $-x$ વડે બદ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$ ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ ને $-x$ વડે બદલતા: $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2(-x)}{1+a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2 x}{1+\frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^\pi \frac{a^x \sin ^2 x}{a^x+1} dx$  $(ii)$ સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $2I = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2 x + a^x \sin ^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2 x(1+a^x)}{1+a^x} dx$ $2I = \int_{-\pi}^\pi \sin ^2 x dx$ $\sin ^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી,$2I = 2 \int_0^\pi \sin ^2 x dx$ $I = \int_0^\pi \frac{1-\cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2x}{2}]_0^\pi$ $I = \frac{1}{2} [(\pi - 0) - (0 - 0)] = \frac{\pi}{2}$

જો $a>0$ હોય,તો $\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin ^2 x}{1+a^x} d x$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શું હશે?

ગેટોનોગેમી (Geitonogamy) માં શું સમાવિષ્ટ છે?

$GNP$ નું પૂરું નામ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module