यदि $y = At^2 + \frac{B}{t}$ ($A, B$ प्राचल हैं) अवकल समीकरण $f(t) y''(t) + g(t) y'(t) + h(t) y = 0$ का व्यापक हल है,तो $2 f(t) + t^2 h(t) =$

रेडियम अपने उपस्थित मात्रा के समानुपाती दर पर विघटित होता है। यदि $1600$ वर्षों में मूल मात्रा का आधा भाग समाप्त हो जाता है,तो $100$ वर्षों में प्रतिशत हानि क्या होगी ($\%$ में)? (दिया गया है: $\log 2 = 0.6931$ और $e^{-0.0433} = 0.9576$)

यदि अवकल समीकरण $y' = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ का व्यापक हल,किसी फलन $\phi$ के लिए,$y \ln |cx| = x$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है,तो $\phi(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक वक्र $y=f(x)$ के बिंदु $P(x, y)$ पर एक अभिलंब खींचा गया है। यह अभिलंब $X$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है। यदि लंबाई $l(PQ) = k$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है,तो $(0, k)$ से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक वक्र $y=f(x), x \in(0, \infty)$ बिंदुओं $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ और $Q\left(a, \frac{1}{2}\right)$ से होकर गुजरता है। यदि दिए गए वक्र पर किसी बिंदु $R(b, f(b))$ पर स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को बिंदु $S(0, c)$ पर इस प्रकार काटती है कि $bc=3$ हो,तो $(PQ)^2$ का मान $.........$ है।

अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = k$ का हल . . . . . . दर्शाता है।