यदि किसी वक्र के बिंदु $P(x, y)$ पर स्पर्श रेखा,मूल बिंदु और बिंदु $P$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,तो वक्र है

अवकल समीकरण $x dy + y dx = 0$ को संतुष्ट करने वाले और बिंदु $(2, 8)$ से गुजरने वाले शांकव का नाभिलंब (latus rectum) है:

स्टील के एक टुकड़े को $100^{\circ}C$ तक गर्म किया जाता है और कमरे में ठंडा होने दिया जाता है। कौन सा ग्राफ शीतलन प्रक्रिया को सही ढंग से दर्शाता है?

मान लीजिए कि एक वक्र $y=f(x), x \in(0, \infty)$ बिंदुओं $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ और $Q\left(a, \frac{1}{2}\right)$ से होकर गुजरता है। यदि दिए गए वक्र पर किसी बिंदु $R(b, f(b))$ पर स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को बिंदु $S(0, c)$ पर इस प्रकार काटती है कि $bc=3$ हो,तो $(PQ)^2$ का मान $.........$ है।

अवकल समीकरण $x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $x = 1$ होने पर $y = 1$ और $\frac{dy}{dx} = 0$ है।

मान लीजिए कि $\Gamma$ एक वक्र $y = y(x)$ को दर्शाता है जो प्रथम चतुर्थांश में है और बिंदु $(1,0)$ उस पर स्थित है। मान लीजिए कि बिंदु $P$ पर $\Gamma$ की स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $Y_p$ पर काटती है। यदि $\Gamma$ पर प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए $PY_p$ की लंबाई $1$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$