જો કોઈ વક્રના બિંદુ $P(x, y)$ આગળનો સ્પર્શક,ઉગમબિંદુ અને બિંદુ $P$ ને જોડતી રેખાને લંબ હોય,તો તે વક્ર કયો છે?

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$,$x \geq 1$,જ્યાં $y(1) = 0$ નો ઉકેલ છે. જો રેખાઓ $x = 1$,$x = e^{\pi}$,$y = 0$ અને વક્ર $y = y(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\alpha e^{2\pi} + \beta$ હોય,તો $10(\alpha + \beta)$ ની કિંમત ....... છે.

ગતિશીલ હવામાં પદાર્થ ઠંડો પડવાનો દર,પદાર્થના તાપમાન અને હવાના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે. હવામાનનું તાપમાન $290 \ K$ છે અને પદાર્થ $10 \ \text{મિનિટમાં}$ $370 \ K$ થી $330 \ K$ સુધી ઠંડો થાય છે. તો પદાર્થને $295 \ K$ સુધી ઠંડો થવા માટે લાગતો સમય કેટલો છે ($min$ માં)?

જો એક વક્ર ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,અને તેની સબનોર્મલની લંબાઈ તેના ઓર્ડિનેટના વર્ગ કરતાં એક વધારે છે,તો:

વક્રના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ એ સંપર્ક બિંદુ અને $(-4, -3)$ બિંદુને જોડતા રેખાખંડના ઢાળ કરતા બમણો છે. જો વક્ર $(-2, 1)$ માંથી પસાર થતો હોય,તો વક્રનું સમીકરણ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$ એ વર્તુળોની એવી શ્રેણી દર્શાવે છે જેની પાસે છે: