ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ x dy - y dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.$x^2$ વડે ભાગતા ($x \geq 1$ માટે): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.$x^2$ વડે ભાગતા ($x \geq 1$ માટે): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.આનું સાદું રૂપ: $d(\frac{y}{x}) = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} = \int \frac{dx}{x}$.$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.શરત $y(1) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.તેથી,$y = x \sin(\ln x)$.ક્ષેત્રફળ $A = \int_{1}^{e^{\pi}} x \sin(\ln x) dx$.ધારો કે $x = e^t$,તો $dx = e^t dt$. જ્યારે $x=1, t=0$; જ્યારે $x=e^{\pi}, t=\pi$.$A = \int_{0}^{\pi} e^t \sin(t) e^t dt = \int_{0}^{\pi} e^{2t} \sin(t) dt$.સૂત્ર $\int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:$A = [\frac{e^{2t}}{5} (2 \sin t - \cos t)]_{0}^{\pi} = \frac{e^{2\pi}}{5} (2(0) - (-1)) - \frac{1}{5} (2(0) - 1) = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5}$.$\alpha e^{2\pi} + \beta$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{5}$ અને $\beta = \frac{1}{5}$ મળે.તેથી,$10(\alpha + \beta) = 10(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = 10(\frac{2}{5}) = 4$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}$ એ વર્તુળોની એવી સંહતિ દર્શાવે છે જેની પાસે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module