मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण x dy - y dx = | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.$x^2$ से भाग देने पर ($x \geq 1$ के लिए): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1

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$4$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $x dy - y dx = \sqrt{x^2 - y^2} dx$.$x^2$ से भाग देने पर ($x \geq 1$ के लिए): $\frac{x dy - y dx}{x^2} = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.यह सरल होकर बनता है: $d(\frac{y}{x}) = \frac{1}{x} \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{d(\frac{y}{x})}{\sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}} = \int \frac{dx}{x}$.$\sin^{-1}(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$.प्रारंभिक शर्त $y(1) = 0$ का उपयोग करने पर: $\sin^{-1}(0) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.अतः,$y = x \sin(\ln x)$.क्षेत्रफल $A = \int_{1}^{e^{\pi}} x \sin(\ln x) dx$.मान लीजिए $x = e^t$,तो $dx = e^t dt$. जब $x=1, t=0$; जब $x=e^{\pi}, t=\pi$.$A = \int_{0}^{\pi} e^t \sin(t) e^t dt = \int_{0}^{\pi} e^{2t} \sin(t) dt$.सूत्र $\int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) + C$ का उपयोग करने पर:$A = [\frac{e^{2t}}{5} (2 \sin t - \cos t)]_{0}^{\pi} = \frac{e^{2\pi}}{5} (2(0) - (-1)) - \frac{1}{5} (2(0) - 1) = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{1}{5}$.$\alpha e^{2\pi} + \beta$ से तुलना करने पर,$\alpha = \frac{1}{5}$ और $\beta = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।इसलिए,$10(\alpha + \beta) = 10(\frac{1}{5} + \frac{1}{5}) = 10(\frac{2}{5}) = 4$.

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