अवकल समीकरण $x \frac{d^2 y}{d x^2} = 1$ का हल,जहाँ $x = y = 1$ और $x = 1$ पर $\frac{dy}{d x} = 0$ है,ज्ञात कीजिए:

समीकरण $\frac{x^2 d^2y}{dx^2} = \ln x$ का हल ज्ञात कीजिए,जब $x = 1$ पर $y = 0$ और $\frac{dy}{dx} = -1$ है।

एक कल्चर में,बैक्टीरिया की संख्या $1,00,000$ है। $2$ घंटों में यह संख्या $10 \%$ बढ़ जाती है। यदि बैक्टीरिया के बढ़ने की दर उपस्थित संख्या के समानुपाती है,तो कितने घंटों में संख्या $2,00,000$ हो जाएगी?

यदि अवकल समीकरण $y' = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ का व्यापक हल,किसी फलन $\phi$ के लिए,$y \ln |cx| = x$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है,तो $\phi(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक शहर की जनसंख्या के बढ़ने की दर वर्तमान जनसंख्या के समानुपाती है। $30$ वर्षों की अवधि में,जनसंख्या $20$ लाख से बढ़कर $40$ लाख हो गई। तो,$15$ वर्ष की और अवधि के बाद जनसंख्या क्या होगी ($\text{लाख}$ में)? ($\sqrt{2} = 1.41$ लें)

एक व्यक्ति की संपत्ति उसके व्यवसाय में इस प्रकार कम होती है कि कमी की दर मौजूदा संपत्ति के वर्गमूल के समानुपाती होती है। यदि शुरुआत में संपत्ति ₹ $10$ लाख थी और नुकसान के कारण $3$ साल बाद यह घटकर ₹ $10000$ रह गई,तो व्यक्ति के दिवालिया होने के लिए आवश्यक वर्षों की संख्या क्या होगी?