यदि अवकल समीकरण y' = frac{y}{x} + phi left( f | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ है।माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v +

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$-\frac{1}{4}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ है।माना $v = \frac{y}{x}$,तब $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को अवकल समीकरण में रखने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = v + \phi \left( \frac{1}{v} \right)$,जो सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = \phi \left( \frac{1}{v} \right)$ हो जाता है।पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{\phi(1/v)} = \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dv}{\phi(1/v)} = \ln |x| + C_1$।दिया गया व्यापक हल $y \ln |cx| = x$ को $\ln |cx| = \frac{x}{y} = \frac{1}{v}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$\ln |x| + \ln |c| = \frac{1}{v}$।दोनों पक्षों का $v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} \frac{dx}{dv} = -\frac{1}{v^2}$।हमारे पिछले समीकरण $x \frac{dv}{dx} = \phi(1/v)$ से,$\frac{dx}{dv} = \frac{x}{\phi(1/v)}$।इस मान को अवकलज के परिणाम में रखने पर: $\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\phi(1/v)} = -\frac{1}{v^2}$,जो दर्शाता है कि $\phi(1/v) = -v^2$।हमें $\phi(2)$ ज्ञात करना है। माना $\frac{1}{v} = 2$,अतः $v = \frac{1}{2}$।इसलिए $\phi(2) = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$।

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