यदि y=y(x),x frac{d y}{d x}=y+x e^{-left(frac | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d y}{d x} = \fr

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$e \log (1+e)$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{d y}{d x} = y + x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.$x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,तो $y = vx$ और $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{d v}{d x} = v + e^{-v}$.$x \frac{d v}{d x} = e^{-v} \Rightarrow e^v d v = \frac{d x}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int e^v d v = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow e^v = \log |x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $e^{\frac{y}{x}} = \log |x| + C$.दिया गया है $y(1) = \log e = 1$,इसलिए $x=1, y=1$ पर: $e^{\frac{1}{1}} = \log(1) + C \Rightarrow e = 0 + C \Rightarrow C = e$.अतः,हल $e^{\frac{y}{x}} = \log x + e$ है।$y(e)$ ज्ञात करने के लिए,$x=e$ रखें: $e^{\frac{y(e)}{e}} = \log e + e = 1 + e$.दोनों पक्षों का $\log$ लेने पर: $\frac{y(e)}{e} = \log(1+e) \Rightarrow y(e) = e \log(1+e)$.

यदि $y=y(x)$,$x \frac{d y}{d x}=y+x e^{-\left(\frac{y}{x}\right)}$ का हल है और $y(1)=\log e$ है,तो $y(e)$ ज्ञात कीजिए।

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