यदि P(2, beta, alpha) समतल x+2y-z-2=0 पर स्थि | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है,अतः $2+2\beta-\alpha-2=0$,जो सरल होकर $\alpha=2\beta$ $(i)$ देता है।दिया गया है

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$\left(-\frac{4}{\sqrt{17}}, 0, \frac{1}{\sqrt{17}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है,अतः $2+2\beta-\alpha-2=0$,जो सरल होकर $\alpha=2\beta$ $(i)$ देता है।दिया गया है कि $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,अतः $2\alpha - (-1) + 3\beta + 6 = 0$,जो सरल होकर $2\alpha+3\beta+7=0$ $(ii)$ देता है।$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2(2\beta)+3\beta+7=0 \Rightarrow 7\beta = -7 \Rightarrow \beta = -1$.तब $\alpha = 2(-1) = -2$.अतः,$P = (2, -1, -2)$ और $Q = (-2, -1, -1)$.सदिश $\vec{PQ} = (-2-2)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (-1-(-2))\hat{k} = -4\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$.इसका परिमाण $|\vec{PQ}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.दिक्-कोज्याएँ $\left(\frac{-4}{\sqrt{17}}, \frac{0}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \left(-\frac{4}{\sqrt{17}}, 0, \frac{1}{\sqrt{17}}\right)$ हैं।

यदि $P(2, \beta, \alpha)$ समतल $x+2y-z-2=0$ पर स्थित है और $Q(\alpha, -1, \beta)$ समतल $2x-y+3z+6=0$ पर स्थित है,तो रेखा $PQ$ की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) क्या हैं?

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