यदि $y = \frac{x^2 + 14x + 9}{x^2 + 2x + 3}$ सभी $x \in R$ के लिए है,तो वह अधिकतम लंबाई का अंतराल जिसमें $y$ स्थित है,क्या है?

मान लीजिए $[r]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $r$ से अधिक नहीं है। समीकरण $3 x^2 + 6 x + 5 + \alpha (x^2 + 2 x + 2) = 0$ के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं जब भी $\alpha > L$ या $\alpha < M$ हो। यदि $(L - M)$ न्यूनतम है,तो $[r]$ का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए ताकि सभी $y \in R$ के लिए $L y^2 + M y + r < 0$ हो।

यदि $x^2+\alpha x+\beta=0$ और $xy+l(x+y)+m=0$ से $x$ को विलोपित करने पर प्राप्त द्विघात समीकरण के मूल वही हैं जो दिए गए द्विघात समीकरण के हैं,तो $\beta$ के मानों का समुच्चय है

यदि $x$ वास्तविक है,तो फलन $f(x) = \frac{(x - a)(x - b)}{(x - c)}$ सभी वास्तविक मान ग्रहण करेगा,यदि

समीकरणों $x+y+z=12$,$x^2+y^2+z^2=50$,और $x^3+y^3+z^3=216$ के हलों की संख्या क्या है?

$E_1: a+b+c=0$,यदि $1$,$ax^2+bx+c=0$ का एक मूल है। $E_2: b^2-a^2=2ac$,यदि $\sin \theta, \cos \theta$,$ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?