જો $\frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$ એ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય,તો $\cos ^3 \theta+\sin ^2 \theta+\cos \theta+1=$

ધારો કે $z$ એ મહત્તમ માનાંક ધરાવતી સંકર સંખ્યા છે (જે $X$-અક્ષ પર નથી) જેથી $\left| z + \frac{1}{z} \right| = 1$ થાય. તો:

જો $z_1=1-2 i$,$z_2=1+i$,અને $z_3=3+4 i$ હોય,તો $\left(\frac{1}{z_1}+\frac{3}{z_2}\right) \frac{z_3}{z_2}=$

જો $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ એવા સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}|=1$ થાય, તો $|z_{1}+z_{2}+z_{3}|$ ની કિંમત શું થાય?

જો ગણ $\{\operatorname{Re}\left(\frac{z-\bar{z}+z \bar{z}}{2-3 z+5 \bar{z}}\right): z \in \mathbb{C}, \operatorname{Re}(z)=3\}$ એ અંતરાલ $(\alpha, \beta]$ ની બરાબર હોય,તો $24(\beta-\alpha)$ ની કિંમત શોધો.

શૂન્યતર સંકર સંખ્યા $z$ માટે,ધારો કે $\arg(z)$ એ મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે જ્યાં $-\pi < \arg(z) \leq \pi$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $FALSE$ (ખોટું) છે?
$(A)$ $\arg(-1-i) = \frac{\pi}{4}$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$
$(B)$ વિધેય $f: \mathbb{R} \rightarrow (-\pi, \pi]$,જે $f(t) = \arg(-1+it)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે $\mathbb{R}$ ના તમામ બિંદુઓ પર સતત છે,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$
$(C)$ કોઈપણ બે શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે,$\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) - \arg(z_1) + \arg(z_2)$ એ $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણક છે.
$(D)$ કોઈપણ ત્રણ આપેલ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$ અને $z_3$ માટે,$\arg\left(\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}\right) = \pi$ શરતનું પાલન કરતા બિંદુ $z$ નો બિંદુપથ એક સીધી રેખા પર છે.