यदि A और B समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह हैं और | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$ गुणधर्म $(X+Y)^T = X^T + Y^T$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $(AB)^T + (BA)^T + (AB)^T - (

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$A$ और $B$ दोनों सममित आव्यूह हैं लेकिन विषम-सममित आव्यूह नहीं हैं

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण: $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$ गुणधर्म $(X+Y)^T = X^T + Y^T$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $(AB)^T + (BA)^T + (AB)^T - (BA)^T = 2BA$ $2(AB)^T = 2BA$ $(AB)^T = BA$ $B^T A^T = BA$ यदि $A$ और $B$ सममित हैं, तो $A^T = A$ और $B^T = B$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $BA = BA$ प्राप्त होता है, जो सत्य है। यदि $A$ और $B$ विषम-सममित हैं, तो $A^T = -A$ और $B^T = -B$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $(-B)(-A) = BA$ प्राप्त होता है, अर्थात $BA = BA$, जो भी सत्य है। अतः, यह शर्त तब लागू होती है जब $A$ और $B$ दोनों सममित हों या दोनों विषम-सममित हों।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह हैं और $(AB+BA)^{T}+(AB-BA)^{T}=2BA$ है, तो:

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मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$,तो:

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