यदि $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = $

बिंदु $A(4, 5, 1)$,$B(0, -1, -1)$,$C(3, 9, 4)$ और $D(-4, 4, 4)$ हैं:

मान लीजिए $a, b, c$ भिन्न अऋणात्मक संख्याएँ हैं। यदि सदिश $a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ और $c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ एक ही समतल में स्थित हैं,तो $c$ है

यदि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं और $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है,तो $[\lambda(a + b), \lambda^2 b, \lambda c] = [a, b + c, b]$ के लिए

$x$ का वह मान जिसके लिए सदिशों $\vec{a} = \hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{j} + x\hat{k}$, और $\vec{c} = x\hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम है, है

किसी भी शून्येतर सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के लिए,$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ का मान क्या है?