यदि 3^x y^x = x^{3y} है, तो x = 1 पर frac{dy} | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $3^x y^x = x^{3y}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:$\ln(3^x y^x) = \ln(x^{3y})$$x \ln 3 + x \ln y =

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$\frac{1}{3}$

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(D) दिया गया समीकरण: $3^x y^x = x^{3y}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर:$\ln(3^x y^x) = \ln(x^{3y})$$x \ln 3 + x \ln y = 3y \ln x$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d}{dx}(x \ln 3) + \frac{d}{dx}(x \ln y) = \frac{d}{dx}(3y \ln x)$$\ln 3 + (\ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}) = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln x + 3y \cdot \frac{1}{x}$.$x = 1$ पर, मूल समीकरण से $y$ का मान ज्ञात करने पर:$3^1 y^1 = 1^{3y} \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$.अब $x = 1$ और $y = \frac{1}{3}$ को अवकलित समीकरण में रखने पर:$\ln 3 + \ln(\frac{1}{3}) + 1 \cdot \frac{1}{1/3} \cdot \frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{dy}{dx} \cdot \ln 1 + 3(\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{1}$.चूँकि $\ln(\frac{1}{3}) = -\ln 3$ और $\ln 1 = 0$:$\ln 3 - \ln 3 + 3 \frac{dy}{dx} = 0 + 1$.$3 \frac{dy}{dx} = 1$.$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}$.

यदि $3^x y^x = x^{3y}$ है, तो $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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