यदि int frac{dx}{(x^2+9) sqrt{x^2+16}} = frac | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2+9) \sqrt{x^2+16}}$.$x = 4 	an 	heta$ रखने पर, $dx = 4 \sec^2 	heta \ d	heta$ प्राप्त होता है।अतः $\sqrt{x^2+16}

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$\frac{\sqrt{7}}{3}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2+9) \sqrt{x^2+16}}$.$x = 4 	an 	heta$ रखने पर, $dx = 4 \sec^2 	heta \ d	heta$ प्राप्त होता है।अतः $\sqrt{x^2+16} = \sqrt{16 	an^2 	heta + 16} = 4 \sec 	heta$।इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{4 \sec^2 	heta \ d	heta}{(16 	an^2 	heta + 9)(4 \sec 	heta)} = \int \frac{\sec 	heta \ d	heta}{16 	an^2 	heta + 9} = \int \frac{\cos 	heta \ d	heta}{16 \sin^2 	heta + 9 \cos^2 	heta}$।चूंकि $\cos^2 	heta = 1 - \sin^2 	heta$, हर $7 \sin^2 	heta + 9$ हो जाता है।$I = \int \frac{\cos 	heta \ d	heta}{7 \sin^2 	heta + 9}$।$u = \sin 	heta$ रखने पर, $du = \cos 	heta \ d	heta$ प्राप्त होता है।$I = \int \frac{du}{7u^2 + 9} = \frac{1}{7} \int \frac{du}{u^2 + (3/\sqrt{7})^2} = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{u \sqrt{7}}{3} ight) + c = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{7} \sin 	heta}{3} ight) + c$।चूंकि $x = 4 	an 	heta$, इसलिए $\sin 	heta = \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}$।अतः, $I = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+16}} ight) + c$।दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर, $K = \frac{\sqrt{7}}{3}$।

यदि $\int \frac{dx}{(x^2+9) \sqrt{x^2+16}} = \frac{1}{3 \sqrt{7}} \operatorname{Tan}^{-1} \left( K \frac{x}{\sqrt{16+x^2}} \right) + c$ है, तो $K=$

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