यदि int sin^{-1}left(sqrt{frac{x}{a+x}}right) | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a+x}}ight) dx$. $x = a 	an^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 2a 	an 	heta \sec^2 	heta d	h

Vedclass · Accepted Answer

$(a+x) 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a+x}}ight) dx$. $x = a 	an^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 2a 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। अतः $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a 	an^2 	heta}{a(1+	an^2 	heta)}} = \sqrt{\sin^2 	heta} = \sin 	heta$. इस प्रकार, $I = \int \sin^{-1}(\sin 	heta) \cdot 2a 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta = 2a \int 	heta 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta$. खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = 	heta$ और $dv = 	an 	heta \sec^2 	heta d	heta$ लेने पर, $du = d	heta$ और $v = \frac{	an^2 	heta}{2}$ प्राप्त होता है। $I = 2a \left[ 	heta \cdot \frac{	an^2 	heta}{2} - \int \frac{	an^2 	heta}{2} d	heta ight] = a 	heta 	an^2 	heta - a \int (\sec^2 	heta - 1) d	heta$. $I = a 	heta 	an^2 	heta - a(	an 	heta - 	heta) + C = a 	heta (	an^2 	heta + 1) - a 	an 	heta + C = a 	heta \sec^2 	heta - a 	an 	heta + C$. चूंकि $	an^2 	heta = \frac{x}{a}$, इसलिए $	heta = 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ और $\sec^2 	heta = 1 + \frac{x}{a} = \frac{a+x}{a}$ है। मान रखने पर: $I = a \left( 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} ight) \left( \frac{a+x}{a} ight) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + C = (a+x) 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + C$. अतः, $A(x) = (a+x) 	an^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax}$.

यदि $\int \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a+x}}\right) dx = A(x) + \text{constant}$, तो $A(x) =$

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