જો y=f(x) એ વિકલ સમીકરણ x frac{dy}{dx} = x^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$ $x$ વડે ભાગતા $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$ આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપ

Vedclass · Accepted Answer

$48$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$ $x$ વડે ભાગતા $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$ આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P(x) = -\frac{3}{x}$ અને $Q(x) = x$. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln x} = e^{\ln x^{-3}} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. વ્યાપક ઉકેલ: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ $y \cdot \frac{1}{x^3} = \int x \cdot \frac{1}{x^3} dx + C$ $\frac{y}{x^3} = \int x^{-2} dx + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$ $y(2) = 4$ આપેલ છે, તેથી $x = 2$ અને $y = 4$ મૂકતા: $\frac{4}{2^3} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{4}{8} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$. આમ, વિશિષ્ટ ઉકેલ: $\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + 1 \Rightarrow y = x^3 - x^2$. $f(4)$ શોધવા માટે, $x = 4$ મૂકતા: $f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

જો $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$, $x > 0$, $y(2) = 4$ નો ઉકેલ હોય, તો $f(4) = $ ?

Similar Questions

ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય $f$ એ $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \geq 3$. તો $12f(8)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ નો ઉકેલ છે. જો $x(1) = 1$ હોય,તો $x(\frac{1}{2})$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ નો ઉકેલ, જ્યારે $x = e$ હોય ત્યારે $y = 1$ ની શરત હેઠળ શું થાય?

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module