વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} + frac{y}{x log_{e} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = \

Vedclass · Accepted Answer

$2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ છે.આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે, જ્યાં $P = \frac{1}{x \log_{e} x}$ અને $Q = \frac{1}{x}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx}$ દ્વારા મળે છે.ધારો કે $u = \log_{e} x$, તો $du = \frac{1}{x} dx$. તેથી, $\int \frac{1}{x \log_{e} x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log_{e} u = \log_{e}(\log_{e} x)$.તેથી, $IF = e^{\log_{e}(\log_{e} x)} = \log_{e} x$.ઉકેલ $y \cdot IF = \int (Q \cdot IF) dx + C$ છે.$y \log_{e} x = \int \frac{1}{x} \log_{e} x dx$.ધારો કે $v = \log_{e} x$, તો $dv = \frac{1}{x} dx$. સંકલન $\int v dv = \frac{v^2}{2} + C = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$ બને છે.તેથી, $y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + C$.જ્યારે $x = e$ ત્યારે $y = 1$ આપેલ છે, તેથી $1 \cdot \log_{e} e = \frac{(\log_{e} e)^2}{2} + C$.$1 = \frac{1}{2} + C \implies C = \frac{1}{2}$.$C$ ની કિંમત મૂકતા, $y \log_{e} x = \frac{(\log_{e} x)^2}{2} + \frac{1}{2}$.બંને બાજુ $\log_{e} x$ વડે ભાગતા અથવા $2$ વડે ગુણતા, $2y \log_{e} x = (\log_{e} x)^2 + 1$, જેનું સાદું રૂપ $2y = \log_{e} x + \frac{1}{\log_{e} x}$ થાય છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x \log_{e} x} = \frac{1}{x}$ નો ઉકેલ, જ્યારે $x = e$ હોય ત્યારે $y = 1$ ની શરત હેઠળ શું થાય?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+x^{2}) \frac{dy}{dx} + y = e^{\tan^{-1} x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

$\frac{dy}{dx} + y = e^x$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module