यदि vec{a}+l vec{b}+l^2 vec{c}=0 और vec{a} ti | vedclass

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Question

(B) दिया गया है: $\vec{a} 	imes \vec{b}+\vec{b} 	imes \vec{c}+\vec{c} 	imes \vec{a}=3(\vec{b} 	imes \vec{c})$$\Rightarrow \vec{a} 	imes \vec{b}+\

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$-2$

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(B) दिया गया है: $\vec{a} 	imes \vec{b}+\vec{b} 	imes \vec{c}+\vec{c} 	imes \vec{a}=3(\vec{b} 	imes \vec{c})$$\Rightarrow \vec{a} 	imes \vec{b}+\vec{c} 	imes \vec{a}=2(\vec{b} 	imes \vec{c})$$\Rightarrow \vec{a} 	imes(\vec{b}-\vec{c})=2(\vec{b} 	imes \vec{c}) \quad \dots(i)$साथ ही, $\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$दोनों पक्षों में $(\vec{b}-\vec{c})$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:$\vec{a} 	imes(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} 	imes(\vec{b}-\vec{c}))+l^2(\vec{c} 	imes(\vec{b}-\vec{c}))=0$$\Rightarrow \vec{a} 	imes(\vec{b}-\vec{c})+l(\vec{b} 	imes \vec{b}-\vec{b} 	imes \vec{c})+l^2(\vec{c} 	imes \vec{b}-\vec{c} 	imes \vec{c})=0$चूंकि $\vec{b} 	imes \vec{b}=0$ और $\vec{c} 	imes \vec{c}=0$, इसलिए:$\vec{a} 	imes(\vec{b}-\vec{c})-l(\vec{b} 	imes \vec{c})-l^2(\vec{b} 	imes \vec{c})=0$$\Rightarrow \vec{a} 	imes(\vec{b}-\vec{c})=(l+l^2)(\vec{b} 	imes \vec{c}) \quad \dots(ii)$$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर, $l^2+l=2$$l^2+l-2=0$$(l+2)(l-1)=0$अतः, $l=-2$ या $l=1$ है।$l$ का न्यूनतम मान $-2$ है।

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ में,यदि सदिश $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ का $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ पर प्रक्षेप सदिश का परिमाण $\sqrt{3}$ है और यदि $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ है,तो $\|\alpha\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(P)$ $1$
$(B)$ मान लीजिए $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं ताकि फलन $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है। तो $a$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है। यदि $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ है,तो $n$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ का हरात्मक माध्य $4$ है। यदि $q$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है ताकि $a, 5, q, b$ समांतर श्रेणी में हैं,तो $\|q-a\|$ का मान (मानों) है	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

यदि $\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$ और $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$ है, तो ऐसे $l$ का न्यूनतम मान क्या है?

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