यदि $L$ समतलों $3x + 4y + 7z = 1$ और $x - y + z = 5$ की उभयनिष्ठ रेखा है, तो रेखा $L$ के दिक अनुपात ज्ञात कीजिए:

$R^3$ में,समतलों $P_1: y=0$ और $P_2: x+z=1$ पर विचार करें। मान लीजिए $P_3$ एक समतल है,जो $P_1$ और $P_2$ से भिन्न है,और उनके प्रतिच्छेदन से होकर गुजरता है। यदि बिंदु $(0,1,0)$ की $P_3$ से दूरी $1$ है और बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ की $P_3$ से दूरी $2$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध सत्य है (हैं)?
$(A)$ $2\alpha+\beta+2\gamma+2=0$
$(B)$ $2\alpha-\beta+2\gamma+4=0$
$(C)$ $2\alpha+\beta-2\gamma-10=0$
$(D)$ $2\alpha-\beta+2\gamma-8=0$

एक बिंदु $P$, $Q(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समानांतर एक रेखा पर स्थित है। यदि $P$, समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ पर स्थित है, तो रेखाखंड $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $Q(1, 0, -1)$ से गुजरने वाले और रेखा $\vec{r} = (\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल की मूल बिंदु से लंबवत दूरी $\frac{p}{\sqrt{53}}$ है, तो $p = $

मान लीजिए कि बिंदु $P(1, 2, 3)$ का समतल $2x - y + z = 9$ में प्रतिबिंब $Q$ है। यदि बिंदु $R$ के निर्देशांक $(6, 10, 7)$ हैं,तो त्रिभुज $PQR$ के क्षेत्रफल का वर्ग $.....$ है।

समतलों $\pi_1 \equiv x+3y-6=0$ और $\pi_2 \equiv 3x-y+4z=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ है। यदि समतल $\pi$ मूल बिंदु से इकाई दूरी पर है,तो समतल $\pi$ का एक समीकरण है