यदि $f(x) = \cos (\log x)$ है,तो $f(x)f(y) - \frac{1}{2}[f(x/y) + f(xy)] = $

यदि $S$,$\le 2$ घात वाले बहुपदों $P(x)$ का एक समुच्चय है,जहाँ $P(0) = 0$,$P(1) = 1$,और सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $P'(x) > 0$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा $S$ का वर्णन करता है?

कुछ $a, b, c \in N$ के लिए,मान लीजिए $f(x)=ax-3$ और $g(x)=x^b+c$,$x \in R$ है। यदि $(fog)^{-1}(x)=\left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$ है,तो $(fog)(ac) + (gof)(b)$ का मान $..........$ है।

अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके निम्नलिखित का उत्तर दें।
मान लीजिए $f(x) = \sin(\pi \cos x)$ और $g(x) = \cos(2\pi \sin x)$ दो फलन हैं जो $x > 0$ के लिए परिभाषित हैं। निम्नलिखित समुच्चयों को परिभाषित करें जिनके अवयव बढ़ते क्रम में लिखे गए हैं:
$X = \{x : f(x) = 0\}, Y = \{x : f'(x) = 0\}$
$Z = \{x : g(x) = 0\}, W = \{x : g'(x) = 0\}$
$List-I$ में समुच्चय $X, Y, Z$ और $W$ हैं। $List-II$ में इन समुच्चयों के संबंध में कुछ जानकारी है।

$List-I$	$List-II$
$(I) X$	$(P) \supseteq \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, 4\pi, 7\pi\}$
$(II) Y$	$(Q) \text{ एक समांतर श्रेणी}$
$(III) Z$	$(R) \text{ समांतर श्रेणी नहीं}$
$(IV) W$	$(S) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\}$
	$(T) \supseteq \{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\}$
	$(U) \supseteq \{\frac{\pi}{6}, \frac{3\pi}{4}\}$

$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र $CORRECT$ संयोजन है?
$(1) (II), (R), (S)$ $(2) (I), (P), (R)$ $(3) (II), (Q), (T)$ $(4) (I), (Q), (U)$
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र $CORRECT$ संयोजन है?
$(1) (IV), (Q), (T)$ $(2) (IV), (P), (R), (S)$ $(3) (III), (R), (U)$ $(4) (III), (P), (Q), (U)$

मान लीजिए $f: X \rightarrow Y$ एक फलन है और $A, B$ समुच्चय $Y$ के अरिक्त उपसमुच्चय हैं। तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

फलन $f(x) = \left[ \frac{1}{\ln(x^2 + e)} \right] + \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ का परिसर ज्ञात कीजिए,जहाँ $[*]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है और $e = \lim_{\alpha \to 0} (1 + \alpha)^{1/\alpha}$ है।