यदि (cot alpha_1)(cot alpha_2) ldots (cot alp | vedclass

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Question

(A) माना $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$. अतः $\frac{1}{P^2} = \sec^2 \alpha_1 \sec^2 \alpha_2 \ldots \sec^2 \alpha_n = (1 +

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$\frac{1}{2^{n/2}}$

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(A) माना $P = \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 \ldots \cos \alpha_n$. अतः $\frac{1}{P^2} = \sec^2 \alpha_1 \sec^2 \alpha_2 \ldots \sec^2 \alpha_n = (1 + 	an^2 \alpha_1)(1 + 	an^2 \alpha_2) \ldots (1 + 	an^2 \alpha_n)$. $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार, $1 + 	an^2 \alpha_i \geq 2 	an \alpha_i$. इसलिए, $\frac{1}{P^2} \geq 2^n (	an \alpha_1 	an \alpha_2 \ldots 	an \alpha_n) = 2^n$. अतः $P^2 \leq \frac{1}{2^n}$, जिसका अर्थ है $P \leq \frac{1}{2^{n/2}}$. अधिकतम मान $\frac{1}{2^{n/2}}$ है।

यदि $(\cot \alpha_1)(\cot \alpha_2) \ldots (\cot \alpha_n) = 1$ जहाँ $0 < \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n < \pi/2$ है, तो $(\cos \alpha_1)(\cos \alpha_2) \ldots (\cos \alpha_n)$ का अधिकतम मान क्या होगा?

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