यदि PQ अतिपरवलय frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2} | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और $\Delta OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है।$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(a \sec 	heta, b

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$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और $\Delta OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है।$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(a \sec 	heta, b 	an 	heta)$ और $(a \sec 	heta, -b 	an 	heta)$ हैं।$\Delta OPQ$ में, $OP = PQ \Rightarrow OP^2 = PQ^2$.$a^2 \sec^2 	heta + b^2 	an^2 	heta = (2b 	an 	heta)^2 = 4b^2 	an^2 	heta$.$a^2 \sec^2 	heta = 3b^2 	an^2 	heta$.$a^2 (1 + 	an^2 	heta) = 3b^2 	an^2 	heta$.$a^2 = (3b^2 - a^2) 	an^2 	heta$.$	an^2 	heta = \frac{a^2}{3b^2 - a^2}$.चूँकि $	an^2 	heta > 0$, इसलिए $3b^2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.अतः, $e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

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