यदि y=e^{m sin ^{-1} x} है, तो (1-x^{2}) frac | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y=e^{m \sin^{-1} x}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x}=e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^{2}}}$ प्राप्त होता है

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$m^{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $y=e^{m \sin^{-1} x}$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d y}{d x}=e^{m \sin^{-1} x} \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^{2}}}$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है $\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=m e^{m \sin^{-1} x} = m y$।अब पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d}{d x} \left( \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} \right) = \frac{d}{d x} (m y)$।$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{1-x^{2}}} (-2 x) \frac{d y}{d x} = m \frac{d y}{d x}$।पूरे समीकरण को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर:$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}$।$\sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x} = m y$ का मान रखने पर:$(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} = m(m y) = m^{2} y$।अतः, $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - m^{2} y = 0$।दिए गए समीकरण $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - x \frac{d y}{d x} - k y = 0$ से तुलना करने पर, $k = m^{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $y=e^{m \sin ^{-1} x}$ है, तो $(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-k y=0$, जहाँ $k$ का मान क्या है?

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