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Question

(A) दिया गया है $y = \operatorname{Sec}^{-1} x$। सबसे पहले, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$। इसे $\frac{dy}{

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$\frac{1-2 x^2}{x|x|\left(x^2-1\right)^{\frac{3}{2}}}$

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(A) दिया गया है $y = \operatorname{Sec}^{-1} x$। सबसे पहले, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$। इसे $\frac{dy}{dx} = (x^2-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{|x|}$ के रूप में लिखा जा सकता है। $x > 1$ के लिए, $|x| = x$, इसलिए $\frac{dy}{dx} = x^{-1}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}$। गुणन नियम का उपयोग करके पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} [x^{-1}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}}] = -x^{-2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} + x^{-1} \cdot (-\frac{1}{2})(x^2-1)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x)$। $\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-1}} - \frac{1}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{-(x^2-1) - x^2}{x^2(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1-2x^2}{x^2(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$। सभी $x$ के लिए निरपेक्ष मान को ध्यान में रखते हुए, सामान्य रूप $\frac{1-2x^2}{x|x|(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$ है। अतः, सही विकल्प $A$ है।

यदि $y = \operatorname{Sec}^{-1} x$ है, तो $\frac{d^2 y}{d x^2} = $

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