यदि int frac{dx}{(x+1)(x-2)(x-3)}=frac{1}{k} | vedclass

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Question

(D) हम समाकल्य को विघटित करने के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.अंशो

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$12$

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(D) हम समाकल्य को विघटित करने के लिए आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं: $\frac{1}{(x+1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-3}$.अंशों की तुलना करने पर: $1 = A(x-2)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-2)$.$x = -1$ के लिए: $1 = A(-3)(-4) \Rightarrow A = \frac{1}{12}$.$x = 2$ के लिए: $1 = B(3)(-1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}$.$x = 3$ के लिए: $1 = C(4)(1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}$.पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = \int \left( \frac{1/12}{x+1} - \frac{1/3}{x-2} + \frac{1/4}{x-3} \right) dx = \frac{1}{12} \ln|x+1| - \frac{1}{3} \ln|x-2| + \frac{1}{4} \ln|x-3| + c$.दिए गए रूप $\frac{1}{k} \ln \left\{ \frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4} \right\}$ से मिलान करने के लिए, हम $\frac{1}{12}$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:$I = \frac{1}{12} \left( \ln|x+1| - 4\ln|x-2| + 3\ln|x-3| \right) + c = \frac{1}{12} \ln \left\{ \frac{|x+1||x-3|^3}{|x-2|^4} \right\} + c$.अतः, दी गई अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने पर, हमें $k = 12$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{dx}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{k} \log_e \left\{ \frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4} \right\}+c$ है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int {\frac{{(2{x^2} + 1)\,dx}}{{({x^2} - 4)({x^2} - 1)}} = \log \left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^a}\,{{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)}^b}} \right]} + C,$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

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