int frac{dx}{x(x^{2}+1)} का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(A) समाकलन $\int \frac{dx}{x(x^{2}+1)}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों (partial fractions) का उपयोग करेंगे।माना $\frac{1}{x(x^{2}+1)} = \fr

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$\log |x|-\frac{1}{2} \log (x^{2}+1)+C$

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $\int \frac{dx}{x(x^{2}+1)}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों (partial fractions) का उपयोग करेंगे।माना $\frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1}$.दोनों पक्षों को $x(x^{2}+1)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x$ प्राप्त होता है।$x^{2}$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर,$A+B=0$,$C=0$ और $A=1$ प्राप्त होता है।अतः,$A=1$,$B=-1$ और $C=0$.इसलिए,$\frac{1}{x(x^{2}+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2}+1}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{x} - \int \frac{x}{x^{2}+1} dx$.$= \log |x| - \frac{1}{2} \log |x^{2}+1| + C$.चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $x^{2}+1 > 0$ होता है,इसलिए हम इसे $\log |x| - \frac{1}{2} \log (x^{2}+1) + C$ के रूप में लिख सकते हैं।

$\int \frac{dx}{x(x^{2}+1)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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