यदि int_{log _{e} 2}^{x} (e^{t}-1)^{-1} dt = | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $\int_{\log _{e} 2}^{x} \frac{1}{e^{t}-1} dt = \log _{e} \frac{3}{2}$ है।माना $u = e^{t}-1$, तो $du = e^{t} dt$, जिसका अर्थ है $dt

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$\log _{e} 4$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $\int_{\log _{e} 2}^{x} \frac{1}{e^{t}-1} dt = \log _{e} \frac{3}{2}$ है।माना $u = e^{t}-1$, तो $du = e^{t} dt$, जिसका अर्थ है $dt = \frac{du}{u+1}$।इन मानों को समाकलन में रखने पर, हमें $\int \frac{1}{u(u+1)} du = \int (\frac{1}{u} - \frac{1}{u+1}) du = \log _{e} |u| - \log _{e} |u+1| = \log _{e} |\frac{u}{u+1}|$ प्राप्त होता है।$u = e^{t}-1$ रखने पर, समाकलन $[\log _{e} |\frac{e^{t}-1}{e^{t}}|]_{\log _{e} 2}^{x} = [\log _{e} |1-e^{-t}|]_{\log _{e} 2}^{x}$ बन जाता है।सीमाओं को लागू करने पर: $\log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (1-e^{-\log _{e} 2}) = \log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (1-\frac{1}{2}) = \log _{e} (1-e^{-x}) - \log _{e} (\frac{1}{2}) = \log _{e} \frac{3}{2}$।अतः, $\log _{e} (\frac{1-e^{-x}}{1/2}) = \log _{e} \frac{3}{2}$, जिसका अर्थ है $2(1-e^{-x}) = \frac{3}{2}$।$1-e^{-x} = \frac{3}{4} \implies e^{-x} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर, $-x = \log _{e} (\frac{1}{4}) = -\log _{e} 4$।इसलिए, $x = \log _{e} 4$।

यदि $\int_{\log _{e} 2}^{x} (e^{t}-1)^{-1} dt = \log _{e} \frac{3}{2}$ है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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