यदि $\int_{0}^{1} 4 \cot^{-1}(1-x+x^{2}) dx = a \tan^{-1}(2) - b \log_{e}(5)$, जहाँ $a, b \in N$, तो $(2a+b)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$m \neq n$ $(m, n \in I)$ के लिए समाकल $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \sin(nx) \, dx$ का मान क्या है?

मान लीजिए कि फलन $F$ को $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} dt, x > 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है। तो समाकलन $\int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t+a} dt$,जहाँ $a > 0$,का मान क्या है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक सतत फलन है ताकि सभी $x \in R$ के लिए $f(x)+f(x+1)=2$ हो। यदि $I_{1}=\int_{0}^{8} f(x) d x$ और $I_{2}=\int_{-1}^{3} f(x) d x$ है,तो $I_{1}+2 I_{2}$ का मान किसके बराबर है?

निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।